این یک مقاله ای با عنوان روش جدید ساخت توابع لیاپانوف از ترکیب خطی توابع پایه برای تحلیل پایداری سیستمهای دینامیکی غیرخطی همگن است که در۱۰ صفحه برای دانلود منتشر شده است.

چکیده

این مقاله به رویکردی جدید در تحلیل پایداری سیستمهای غیرخطی با استفاده از توابع کاندید لیاپانوف می‌پردازد. این رویکرد به جای تمرکز بر مثبت معین بودن تابع کاندید لیاپانوف، بر منفی معین بودن مشتق آن تأکید دارد و در صورت یافتن تابعی با مشتق منفی معین وضعیت پایداری یا ناپایداری حالت تعادل صفر سیستم را با تعیین علامت تابع کاندید لیاپانوف مشخص می‌کند. در ادامه این رویکرد جدید تابع کاندید لیاپانوف را به صورت ترکیب خطی برخی توابع پایه تشکیل می‌دهد. ضرایب این ترکیب خطی باید به گونه ای پیدا شوند که مشتق تابع کاندید لیاپانوف یک تابع منفی معین باشد. همچنین یک روش جبری برای تشکیل این ترکیب خطی در سیستمهای همگن از درجه صفر ارائه شده است که تعمیم معادله لیاپانوف در تحلیل پایداری سیستمهای خطی است.

واژگان کلیدی: تحلیل پایداری، تابع لیاپانوف، ترکیب خطی توابع پایه، سیستمهای دینامیکی غیرخطی، سیستمهای همگن.

۱- مقدمه

معروفترین روش تحلیل پایداری سیستمهای غیرخطی استفاده از توابع لیاپانوف می‌باشد. روش مستقیم لیاپانوف[۱] معمولاً با انتخاب یک تابع مثبت معین آغاز می‌شود و چنانچه  منفی معین باشد، آنگاه حالت تعادل صفر سیستم زیر پایدار مجانبی است.

ولی اگر نامعین باشد، این روش راجع به پایداری حالت تعادل صفر سیستم ساکت است، زیرا روش مستقیم لیاپانوف شرایط کافی و نه لازم را برای پایداری حالت تعادل ارائه می‌کند (Slotine and Li, 1991).

یک روش ساخت توابع لیاپانوف، استفاده از تکنیک مجموع مربعات[۲] است. معمولا از این تکنیک برای ساخت توابع لیاپانوف چندجمله ای استفاده می‌شود. در این تکنیک تابع لیاپانوف (یا منفی مشتق آن یعنی ) به فرم مجموع مربعاتِ نوشته می‌شود.

در مقالات (Fisher and Bhattacharya, 2007) و (Fisher and Bhattacharya, 2009) الگوریتم ساخت توابع لیاپانوف با استفاده از تکنیک مجموع مربعات، برای حل مسائل پایداری مجانبی ارائه شده و چند مثال نیز آورده شده است. در مقاله (Papachristodoulou and Prajna, 2002) ساخت توابع لیاپانوف چندجمله ای با استفاده از تکنیک مجموع مربعات برای توابع لیاپانوف شامل ترم های غیر چندجمله ای توسعه داده شده است و چند مثال حل شده است. در               (Ahmadi and Parrilo, 2011) در مورد وجود توابع لیاپانوف چند جمله ای به فرم مجموع مربعات  بحث شده است و وجود توابع لیاپانوف چندجمله ای که SOS  بوده و منفی مشتق آنها نیز SOS است، برای سیستم های دینامیکی به اثبات رسیده است.

روش گرادیان متغیر[۳] روش شناخته شده دیگری برای ساخت توابع لیاپانوف است. این روش با انتخاب یک فرم کلی برای تابع گرادیان یعنی آغاز می‌شود که باید در شرط کِرل یعنی برای  صادق باشد. سپس مقدار دقیقبه گونه ای پیدا می‌شود که تابع  منفی معین باشد. سپسبا انتگرال گیری ازمحاسبه می‌شود(Slotine and Li, 1991) .

در قضیه ۱ نشان خواهیم داد با ساخت منفی معین، پایداری یا ناپایداری حالت تعادل صفر سیستم به طور کامل با تعیین علامت مشخص می‌شود. پس ساخت منفی معین مهمتر از تعیین علامت است. روش گرادیان متغیر از این بابت که ابتدا  منفی معین را می‌سازد مفید است، ولی این روش بسیار پیچیده است و باید با روشی دیگر جایگزین شود.

ادامه ی متن در فایل اصلی

در صورت بروز مشکل در دانلود مقاله روش جدید ساخت توابع لیاپانوف از ترکیب خطی توابع پایه برای تحلیل پایداری سیستمهای دینامیکی غیرخطی همگن با پشتیبانی تماس بگیرید.